Question

判斷下列各命題正確與否：
（1）若≠0，•=•，則=；
（2）若•=•，則≠當且僅當=0時成立；
（3）=對任意向量、、都成立；
（4）對任一向量，有²=||²．

Answer 1

【答案】分析：（1）（2）可由數量積的定義判斷．
（3）通過計算判斷．
（4）把²轉化成•=||²可判斷．
解答：解：（1）•=•，∴||||cosα=||||cosβ（其中α、β分別為與，與的夾角）．∵||≠0，∴||cosα=||cosβ．
∵cosα與cosβ不一定相等，∴||與||不一定相等．∴與也不一定相等．∴（1）不正確．
（2）若•=•，則||||cosα=||||cosβ（α、β為與，與的夾角）．
∴||（||cosα-||cosβ）=0．
∴||=0或||cosα=||cosβ．
當≠時，||cosα與||cosβ可能相等．
∴（2）不正確．
（3）（•）=（||||cosα），
（•）=||||cosθ（其中α、θ分別為與，與的夾角）．
（•）是與共線的向量，
（•）是與共線的向量．
∴（3）不正確．（4）正確．
點評：判斷上述問題的關鍵是要掌握向量的數量積的含義，向量的數量積的運算律不同于實數乘法的運算律．