Question

已知：集合M是滿足下列性質的函數f（x）的全體：在定義域內存在x，使得

f（x＋1）＝f（x）＋f（1）成立。

（1）函數f（x）＝是否屬于集合M？說明理由；

（2）設函數f（x）＝lg，求實數a的取值范圍；

（3）證明：函數f（x）＝2＋xM。

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）f（x）＝的定義域為，

令，整理得x＋x＋1＝0，△＝－3<0，

因此，不存在x使得f（x＋1）＝f（x）＋f（1）成立，所以f（x）＝；    3分

（Ⅱ）f（x）＝lg的定義域為Ｒ，f（1）＝lg，a>0，

若f（x）＝ lgM，則存在xＲ使得lg＝lg＋lg，

整理得存在xＲ使得（a－2a）x＋2ax＋（2a－2a）＝0.

（1）若a－2a＝0即a＝2時，方程化為8x＋4＝0，解得x＝－，滿足條件：

（2）若a－2a0即a時，令△≥0，解得a，綜上，a[3－，3＋]；    7分

（Ⅲ）f（x）＝2＋x的定義域為Ｒ，

令２＋（x＋1）＝（2＋x）＋（2＋1），整理得2＋2x－2＝0，

令g（x）＝2＋2x－2，所以g（0）·g（1）＝－2<0，

即存在x（0，1）使得g（x）＝2＋2x－2＝0，

亦即存在xＲ使得2＋（x＋1）＝（2＋x）＋（2＋1），故f（x）＝2＋xM。 10分

 

【解析】略