Question

已知如圖，橢圓方程為

x2

16

+

y2

b2

=1（4＞b＞0）．P為橢圓上的動點，
F₁、F₂為橢圓的兩焦點，當點P不在x軸上時，過F₁作∠F₁PF₂的外角
平分線的垂線F₁M，垂足為M，當點P在x軸上時，定義M與P重合．
（1）求M點的軌跡T的方程；
（2）已知O（0，0）、E（2，1），試探究是否存在這樣的點Q：Q是軌跡T內部的整點（平面內橫、縱坐標均為整數的點稱為整點），且△OEQ的面積S_△OEQ=2？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）延長F₁M與F₂P的延長線相交于點N，連接OM，利用條件求出M是線段NF₁的中點，轉化出|OM|=4即可求出M點的軌跡T的方程；
（2）可以先觀察出軌跡T上有兩個點A（-4，0），B（4，0）滿足S_△OEA=S_△OEB=2，再利用同底等高的兩個三角形的面積相等，，，知道符合條件的點均在過A、B作直線OE的兩條平行線l₁、l₂上，再利用點Q是軌跡T內部的整點即可求出點Q的坐標．

解答：解：（1）當點P不在x軸上時，延長F₁M與F₂P的延長線相交于點N，連接OM，
∵∠NPM=∠MPF₁，∠NMP=∠PMF₁
∴△PNM≌△PF₁M
∴M是線段NF₁的中點，|PN|=|PF₁||（2分）
∴|OM|=

1

2

|F₂N|=

1

2

（|F₂P|+|PN|）=

1

2

（|F₂P|+|PF₁|）
∵點P在橢圓上
∴|PF₂|+|PF₁|=8∴|OM|=4，（4分）
當點P在x軸上時，M與P重合
∴M點的軌跡T的方程為：x²+y²=4²．（6分）

（2）連接OE，易知軌跡T上有兩個點
A（-4，0），B（4，0）滿足S_△OEA=S_△OEB=2，
分別過A、B作直線OE的兩條平行線l₁、l₂．
∵同底等高的兩個三角形的面積相等
∴符合條件的點均在直線l₁、l₂上．（7分）
∵kOE=

1

2

∴直線l₁、l₂的方程分別為：y=

1

2

(x+4)、y=

1

2

(x-4)（8分）
設點Q（x，y）（x，y∈Z）∵Q在軌跡T內，
∴x²+y²＜16（9分）
分別解

x2+y2＜16 y= 1 2 (x+4)

與

x2+y2＜16 y= 1 2 (x-4)

得-4＜x＜2

2

5

與-2

2

5

＜x＜4（11分）
∵x，y∈Z
∴x為偶數，在(-4，2

2

5

)上x=-2，，0，2對應的y=1，2，3
在(-2

2

5

，4)上x=-2，0，2，對應的y=-3，-2，-1（13分）
∴滿足條件的點Q存在，共有6個，
它們的坐標分別為：（-2，1），（0，2），（2，3），（-2，-3），（0，-2），（2，-1）．（14分）

點評：本題涉及到軌跡方程的求法．在求動點的軌跡方程時，一般多是利用題中條件得出關于動點坐標的等式，整理可得動點的軌跡方程．