Question

（本題滿分14分）已知如圖，橢圓方程為.P為橢圓上的動點,

F₁、F₂為橢圓的兩焦點，當點P不在x軸上時，過F₁作∠F₁PF₂的外角

平分線的垂線F₁M,垂足為M，當點P在x軸上時，定義M與P重合．

（1）求M點的軌跡T的方程；（2）已知、，

試探究是否存在這樣的點：是軌跡T內部的整點

（平面內橫、縱坐標均為整數的點稱為整點），且△OEQ的面積？

若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  

解析:

（1）當點P不在x軸上時，延長F₁M與F₂P的延長線相交

于點N,連結OM，∵, 

∴≌ ∴M是線段的中點，|----------2分

∴ = ==

∵點P在橢圓上∴＝    ∴＝4，----------------------4分

當點P在x軸上時，M與P重合

∴M點的軌跡T的方程為：.----------------------6分

（2）連結OE，易知軌跡T上有兩個點

A，B滿足,

分別過A、B作直線OE的兩條平行線、.

∵同底等高的兩個三角形的面積相等

∴符合條件的點均在直線、上.------ ----------7分

∵   ∴直線、的方程分別為：、-------------------8分

設點 （ ）∵在軌跡T內，∴--------------------------------9分

分別解與得 與 -------11分

∵∴為偶數，在上對應的

在上，對應的-----------13分

∴滿足條件的點存在，共有6個，它們的坐標分別為：

．------------14分