Question

是否存在a、b使函數f(x)=

ax+b

x

的圖象關于直線y=x對稱，若不存在，請說明理由；若存在，求出a、b的值．

Answer 1

分析：本題是研究存在性的探索性問題，屬于開放性題目，解題的切入點就是：假設滿足條件的a、b是存在的，然后按存在去求，求出了自然就是存在的，求不出來自然是不存在，過程就是最好的理由，本題同時考查反函數的求法．

解答：解：假設滿足條件的a，b存在，
可設y=

ax+b

x

，解x得：x=

b

y-a

，
將x，y交換得：y=

b

x-a

∵函數f(x)=

ax+b

x

的圖象關于直線y=x對稱
∴函數y=

ax+b

x

和y=

b

x-a

同一函數，
則a=0，b∈R且b≠0為所求
所以滿足條件的a，b存在，且a=0，b為不等于零的任意實數．

點評：此題的解題過程重點還是根據已知條件求反函數，在求出反函數后注意兩個解析式的對照，這是獲得準確結果的重要環節，本題還要注意b的取值，容易忽視b≠0．