Question

（本題滿分16分）已知圓C：x²＋y²＋x－6y＋m=0．

（1）若圓M：與圓C相交于A、B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，求m的值．

（2）若直線x＋2y－3=0與圓C相交于P，Q兩點，O為原點，且OP^OQ，求該圓的半徑．

Answer 1

解：（1）由題知：M（0，0），C（，3），MA^CA，

所以，所以m=1       …………………………5分

（2）法一：設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，由OP^OQ, 得:：k_OPk_OQ= -1，即= -1

即x₁x₂+y₁y₂=0  ①                      …………………………7分

另一方面(x₁，y₁)，(x₂，y₂)是方程組的實數解，

即x₁，x₂是5x²+10x+4m-27=0   ②  的兩個實數根，

∴x₁+x₂=－2，x₁x₂= ③                …………………………10分

又P、Q在直線x+2y-3=0上，∴y₁y₂=(3-x₁)(3-x₂)= [9-3(x₁+x₂)+x₁x₂] 

將③代入得y₁y₂=  ④          ……………12分

將③④代入①知：m=3.             …………………………14分

代入方程②檢驗D＞０成立．               …………………………15分

∴半徑為                …………………………16分

法二：將3=x+2y代入圓的方程知：x²+y²+(x+2y)(x-6y)+ (x+2y)²=0，……………7分

整理得：(12+m)x²+4(m-3)x y+(4m-27)y²=0

由于x≠0，可得(4m-27)( )²+4(m-3) +12+m=0，     …………………………10分

∴k_OP, k_OQ是上方程的兩根, 由k_OPk_OQ= －1知： =－1,  ……………………14分

解得：m=3. 檢驗知滿足題意                    …………………………15分

∴半徑為                …………………………16分