Question

橢圓

x2

4

+

y2

3

=1內有一點P（1，-1），F為橢圓的右焦點，在橢圓上有一動點M，則|MP|+|MF|的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：設F'為橢圓的左焦點，連結MF'，作過P、F'的直線交橢圓于M₁、M₂兩點．根據橢圓的定義算出|MP|+|MF|=|MP|+（2a-|MF'|）=4+（|MP|-|MF'|），由平面幾何知識得-|PF'|≤|MP|-|MF'|≤|PF'|，再利用兩點間的距離公式加以計算，即可得到|MP|+|MF|的取值范圍．

解答：解：設F'為橢圓的左焦點，連結MF'，作過P、F'的直線交橢圓于
M₁、M₂兩點，如圖所示
∵

x2

4

+

y2

3

=1中，a=2，b=

3

，
∴c=

a2-b2

=1，可得F（1，0），F'（-1，0）．
由橢圓的定義，得|MF|+|MF'|=2a=4，
∴|MP|+|MF|=|MP|+（4-|MF'|）=4+（|MP|-|MF'|）
由平面幾何知識，得-|PF'|≤|MP|-|MF'|≤|PF'|，
∴當M與M₁重合時，|MP|-|MF'|達到最大值|PF'|；當M與M₂重合時，|MP|-|MF'|達到最小值-|PF'|．
由|PF'|=

(1+1)2+(-1-0)2

=

5

，可得|MP|-|MF'|的最大值為

5

，最小值為-

5

．
∴|MP|+|MF|=4+（|MP|-|MF'|）的取值范圍為[4-

5

，4+

5

]．
故答案為：[4-

5

，4+

5

]．

點評：本題給出橢圓的右焦點為F，點P是橢圓內一個定點，求橢圓上動點M到P、F兩點的距離和的范圍．著重考查了兩點間的距離公式、橢圓的定義與標準方程等知識，屬于中檔題．