Question

【題目】定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+1）=f（x﹣1），且f（x）在[﹣3，﹣2]上是增函數(shù)，又α、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則（ ）
A.f（sinα）＞f（cosβ）
B.f（cosα）＜f（cosβ）
C.f（sinα）＜f（cosβ）
D.f（sinα）＜f（sinβ）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+1）=f（x﹣1），故f（x+2）=f（x），故函數(shù)f（x）的周期為2． ∵f（﹣x）=f（x），f（x）在[﹣3，﹣2]上是減函數(shù)，
根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知函數(shù)f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，
根據(jù)函數(shù)的周期可知，函數(shù)f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
∵α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，∴α+β＞ ， ＞α＞ ﹣β＞0，
∴1≥sinα＞sin（ ﹣β）=cosβ≥0，∴f（sinα）＞f（cosβ），
故選：A．
由條件得到f（x）是周期為2的周期函數(shù)，由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在[﹣3，﹣2]上是減函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知f（x）在[2，3]上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)增，再由α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，得 ＞α＞ ﹣β＞0，且sinα、cosβ都在區(qū)間[0，1]上，從而可求．