Question

（本小題滿分14分）
已知函數．
（1）求函數的最小值；
（2）證明：對任意恒成立；
（3）對于函數圖象上的不同兩點，如果在函數圖象上存在點（其中）使得點處的切線，則稱直線存在“伴侶切線”．特別地，當時，又稱直線存在 “中值伴侶切線”．試問：當時，對于函數圖象上不同兩點、，直線是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

Answer 1

解：（1）  ；（2）見解析；（3）函數f(x)不存在“中值伴侶切線”

第一問中 


第二問
令，
結合導數來判定。
第三問中，當時，，，假設函數存在“中值伴侶切線”. 
設,是曲線上的不同兩點，且
則，. 故直線AB的斜率：


曲線在點處的切線斜率：
=
依題意可得。
解：（1） …………1分

  ……………………………………2分
      ……………………………4分
（2）
令，………………6分
因為,顯然，所以在上遞增,
顯然有恒成立.（當且僅當x=1時等號成立），即證．     ………8分
（3）當時，，，假設函數存在“中值伴侶切線”. 
設,是曲線上的不同兩點，且
則，. 故直線AB的斜率：

 …………………………………………………………10分
曲線在點處的切線斜率：
=…………………………………………11分
依題意得：
化簡可得：， 即=. …………12分 
設 ()，上式化為,由（2）知時，恒成立.
所以在內不存在t,使得成立.
綜上所述，假設不成立.所以，函數f(x)不存在“中值伴侶切線”   ………………14分