Question

設函數f（x）的定義域為D，若存在閉區間[a，b]?D，使得函數f（x）滿足：①f（x）在[a，b]上是單調函數；②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，則稱區間[a，b]是函數f（x）的“和諧區間”．下列結論錯誤的是（　　）

• A、函數f（x）=x²（x≥0）存在“和諧區間”
• B、函數f（x）=e^x（x∈R）不存在“和諧區間”
• C、函數f(x)=

  4x

  x2+1

  （x≥0）存在“和諧區間”
• D、函數f(x)=loga(ax-

  1

  8

  )（a＞0，a≠1）不存在“和諧區間”

Answer 1

分析：根據函數中存在“倍值區間”，則：①f（x）在[a，b]內是單調函數；②0

f(a)=2a f(b)=2b

或

f(a)=2b f(b)=2a

，對四個函數分別研究，從而確定是否存在“倍值區間”即可．

解答：解：函數中存在“倍值區間”，則：①f（x）在[a，b]內是單調函數；②

f(a)=2a f(b)=2b

或

f(a)=2b f(b)=2a

．
A．若f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值區間”[a，b]，
則此時函數單調遞增，則由

f(a)=2a f(b)=2b

，
得

a2=2a b2=2b

，∴

a=0 b=2

，
∴f（x）=x²（x≥0）存在“倍值區間”[0，2]，∴A正確．
B若f（x）=e^x（x∈R），若存在“倍值區間”[a，b]，
則此時函數單調遞增，則由

f(a)=2a f(b)=2b

，得

ea=2a eb=2b

，
即a，b是方程e^x=2x的兩個不等的實根，
構建函數g（x）=e^x-2x，
∴g′（x）=e^x-2，
∴函數在（-∞，ln2）上單調減，在（ln2，+∞）上單調增，
∴函數在x=ln2處取得極小值，且為最小值．
∵g（ln2）=2-ln2＞0，
∴g（x）＞0，
∴e^x-2x=0無解，故函數不存在“倍值區間”，∴B正確．
C．若函數f(x)=

4x

x2+1

（x≥0），
f′（x）=

4(x2+1)-4x•2x

(x2+1)2

=

4(x+1)(1-x)

(x2+1)2

，
若存在“倍值區間”[a，b]⊆[0，1]，
則由

f(a)=2a f(b)=2b

，得

4a a2+1 =2a 4b b2+1 =2b

，
∴a=0，b=1，
即存在“倍值區間”[0，1]，∴C正確．
D．若函數f(x)=loga(ax-

1

8

)（a＞0，a≠1）．不妨設a＞1，則函數在定義域內為單調增函數，
若存在“倍值區間”[m，n]，
則由

f(m)=2m f(n)=2n

，得

loga(am- 1 8 )=2m loga(an- 1 8 )=2n

，
即m，n是方程loga（a^x-

1

8

）=2x的兩個根，
即m，n是方程a^2x-ax+

1

8

=0的兩個根，
由于該方程有兩個不等的正根，故存在“倍值區間”[m，n]，∴D結論錯誤．
故選：D．

點評：本題主要考查與函數性質有點的新定義，涉及的知識點較多，綜合性較強，難度較大．