Question

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos2B+cosB=0．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若 b=

7

，a+b=5，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由已知cos2B+cosB=0得 2cos²B+cosB-1=0，解得 cosB的值，可得B的值．
（Ⅱ）解：將B=

π

3

，b=

7

代入余弦定理，整理得 （a+c）²-3ac=7．由a+c=5求得ac=6，從而求得△ABC的面積S=

1

2

ac•sinB 的值．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由已知cos2B+cosB=0得  2cos²B+cosB-1=0，…（2分）
解得 cosB=

1

2

，或cosB=-1（舍去）． …（4分）
所以，B=

π

3

．    …（6分）
（Ⅱ）解：由余弦定理得 b²=a²+c²-2ac•cosB．    …（8分）
將B=

π

3

，b=

7

代入上式，整理得 （a+c）²-3ac=7．
因為 a+c=5，所以，ac=6．         …（11分）
所以△ABC的面積 S=

1

2

ac•sinB=

3 3

2

．       …（13分）

點評：本題主要考查二倍角公式、余弦定理的應用，根據三角函數的值求角，屬于中檔題．