Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD⊥底面ABCD，．
（1）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SB所成角的大小；
（2）求面ASD與面BSC所成二面角的大小．

Answer 1

解：（1）以D為原點(diǎn)，以DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD⊥底面ABCD，，
∴SD=，
∴S=（0，0，1），D（0，0，0），B（1，1，0），A（1，0，0），，
設(shè)與的夾角為α，
異面直線DM與SB所成角為θ，
cosθ=|cosα|=0，
∴，
∴異面直線DM與SB所成角的大小為．
（2）平面ASD的一個(gè)法向量，
設(shè)平面BSC的一個(gè)法向量，
∵，
∴，
令y=1，則，
設(shè)與的夾角為β，則，
由圖形得，面ASD與面BSC所成二面角的大小為．
分析：（1），設(shè)與的夾角為α，異面直線DM與SB所成角為θ，cosθ=|cosα|=0，由此能求出異面直線DM與SB所成角的大小．
（2）平面ASD的一個(gè)法向量，設(shè)平面BSC的一個(gè)法向量，由，知，設(shè)與的夾角為β，則，由此能求出面ASD與面BSC所成二面角的大小．
點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的大小的求解和二面角的求法，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．