Question

.（本題滿分14分）已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在X軸上，橢圓短半軸長為1，動點  在直線上。
（1）求橢圓的標準方程
（2）求以線段OM為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程；
（3）設F是橢圓的右焦點，過點F作直線OM的垂線與以線段OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值。

Answer 1

解（1）又由點M在準線上，得          ………2分
故，   從而                          
所以橢圓方程為                                 ……………4分
（2）以OM為直徑的圓的方程為
即                                
其圓心為,半徑                                ……………6分
因為以OM為直徑的圓被直線截得的弦長為2
所以圓心到直線的距離            ……………8分
所以，解得
所求圓的方程為                          ……………10分
（3）方法一：設過點F作直線OM的垂線, 垂足為K,由平幾知：
直線OM：，直線FN：          ……12分
由得
所以線段ON的長為定值。
所以線段ON的長為定值…………14分

略