Question

【題目】足球運動被譽為“世界第一運動”.為推廣足球運動，某學校成立了足球社團由于報名人數較多，需對報名者進行“點球測試”來決定是否錄取，規則如下：

（1）下表是某同學6次的訓練數據，以這150個點球中的進球頻率代表其單次點球踢進的概率.為加入足球社團，該同學進行了“點球測試”，每次點球是否踢進相互獨立，將他在測試中所踢的點球次數記為，求；

（2）社團中的甲、乙、丙三名成員將進行傳球訓練，從甲開始隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者，接到第n次傳球的人即為第次觸球者，第n次觸球者是甲的概率記為.

（i）求，，（直接寫出結果即可）；

（ii）證明：數列為等比數列.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i），，（ii）證明見解析；

【解析】

（1）先求出踢一次點球命中的概率，然后根據相互獨立事件的乘法公式分別求出取1，2，3的概率，再根據離散型隨機變量的期望公式可求得結果；

（2）（i）根據傳球順序分析可得答案；（ii）根據題意可得，再變形為，根據等比數列的定義可證結論.

（1）這150個點球中的進球頻率為，

則該同學踢一次點球命中的概率，

由題意，可能取1，2，3，則

，，，

則的期望.

（2）（i）因為從甲開始隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，所以第1次觸球者是甲的概率，顯然第2次觸球者是甲的概率，第2次傳球有兩種可能，所以第3次觸球者是甲的概率概，

（ii）∵第n次觸球者是甲的概率為，

所以當時，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，

則.

從而，又，

∴是以為首項，公比為的等比數列.