Question

已知函數f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x²+6x+12，且f′（-1）=0．
（Ⅰ）求函數f（x）在區間（-2，3）上的極值；
（Ⅱ）如果對于所有x≥-2都有f（x）≤kx+9≤g（x）成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數f（x）的導函數，由f′（-1）=0求解a的值，把a的值代入導函數解析式后利用導函數的零點對區間（-2，3）分段，由不同區間段內導函數的符號判斷原函數的單調性，從而求得極值點并得到極值；
（Ⅱ）分kx+9≤g（x）和f（x）≤kx+9對于所有x≥-2恒成立求解k的取值范圍，對于kx+9≤g（x），代入函數g（x）的解析式，分x=0，-2≤x＜0，x＞0三種情況討論，中間利用分離變量k，然后利用基本不等式求最值解決．對于f（x）≤kx+9，代入函數f（x）的解析式，仍然分x=0，-2≤x＜0，x＞0三種情況討論，當x=0時k可取任意實數，然后利用分離變量法和配方求出-2≤x＜0時不等式成立的k的范圍，證明求得的范圍對于x＞0成立．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax³+3x²-6ax-11，得f′（x）=3ax²+6x-6a，
由f′（-1）=0，即3a-6-6a=0，得a=-2．
∴f（x）=-2x³+3x²+12x-11，令f′（x）=-6x²+6x+12=0，解得x=-1或x=2．
當x∈（-2，-1），（2，3）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數，
當x∈（-1，2）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數．
∴當x=-1時，f（x）在區間（-2，3）上有極小值，極小值為-18，
當x=2時，f（x）在區間（-2，3）上有極大值，極大值為9．
（Ⅱ）①由kx+9≤g（x），得kx≤3x²+6x+3，當x=0時，不等式恒成立，k∈R；
當-2≤x＜0時，不等式為k≥3(x+

1

x

)+6，
而3(x+

1

x

)+6=-3[(-x)+

1

(-x)

]+6≤-3×2+6=0，∴k≥0；
當x＞0時，不等式為k≤3(x+

1

x

)+6，∵3(x+

1

x

)+6≥12，∴k≤12．
∴當x≥-2時，kx+9≤g（x）恒成立，則0≤k≤12．
②由f（x）≤kx+9，得kx+9≥-2x³+3x²+12x-11，
當x=0時，9≥-11恒成立，k∈R；當-2≤x＜0時，有k≤-2x2+3x+12-

20

x

，
設h(x)=-2x2+3x+12-

20

x

=-2(x-

3

4

)2+

105

8

-

20

x

，
當-2≤x＜0時，-2(x-

3

4

)2+

105

8

為增函數，-

20

x

也是增函數，∴h（x）≥h（-2）=8．
故要使f（x）≤kx+9在（-2，0）上恒成立，則k≤8；
由上述過程知，只要考慮0≤k≤8即可，
則當x＞0時，f′（x）=-6x²+6x+12=-6（x+1）（x-2），
在x∈（0，2]時，f′（x）＞0，在x∈（2，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=2時有極大值，即f（x）在（0，+∞）上的最大值，
又f（2）=9，即f（x）≤9，而當x＞0，k≥0時，kx+9≥9恒成立，
∴當0≤k≤8時，在（0，+∞）上f（x）≤kx+9恒成立．
綜上所述，0≤k≤8．

點評：本題考查了利用導數研究函數的極值，考查了函數恒成立問題，運用了分類討論的數學思想方法和數學轉化思想方法，解題過程中分離了參數k，需要注意的是注意k的范圍，考查了學生綜合處理問題的能力，是難題．