Question

已知函數f（x）是R上的偶函數，且f（x+1）•f（x-1）=1，f（x）＞0恒成立，則f（2011）=

1

．

Answer 1

分析：由題意，可根據f（x+1）•f（x-1）=1，f（x）＞0恒成立解出函數的周期為4及f（1）=f（-1）=1，再由周期性得出f（2011）=f（-1）即可求出f（2011）的值

解答：解：由f（x+1）•f（x-1）=1知，函數自變量相差2，函數值互為倒數，故函數周期是4
再令x=0可得f（1）•f（-1）=1，又f（x）＞0恒成立
所以f（1）=f（-1）=1
∵2011=503×4-1
∴f（2011）=f（-1）=1
故答案為1

點評：本題考查函數奇偶性的性質，解題的關鍵是充分利用恒等式求出函數的周期以及某些函數值，利用題設中的恒等式求出函數的周期及通過賦值求出f（-1）=1是解題的難點．本題考查了觀察分析的能力及靈活變形的能力．