Question

（2006•海淀區二模）已知函數f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0），函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）用關于m的代數式表示n；
（2）當m=1時，求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，又根據f′（2）=0可得到關于m的代數式；
（2）若m=1，則n=-3，得到f'（x）=3x²-6x，
令f'（x）＞0或f'（x）＜0，解出x，即可得到函數增減區間．

解答：解：（1）∵f（x）=mx³+nx²，
∴f'（x）=3mx²+2nx
由已知條件得：f'（2）=0
∴3m+n=0  
∴n=-3m
（2）若m=1，則n=-3
∴f（x）=x³-3x²，
∴f'（x）=3x²-6x，
令f'（x）＞0，∴x＜0或x＞2．         
令f'（x）＜0，得0＜x＜2
∴f（x）的單調遞增區間為（-∞，0），（2，+∞）
∴f（x）的單調遞減區間為（0，2）．

點評：本題主要考查通過求函數的導數來求函數增減區間的問題．