Question

已知函數f（x）=

1

3

ax3-bx²+（2-b）x+1在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值，且0＜x₁＜1＜x₂＜2
（1）當x₁=

1

2

，x₂=

3

2

時，求a，b的值；
（2）若w=2a+b，求w的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導函數，因為函數在x₁=

1

2

，x₂=

3

2

時取得極值得到：

1

2

，

1

3

是導函數等于0的兩個根，由此可求出a，b值；
（2）由0＜x₁＜1＜x₂＜2得到導函數在x=0、2時大于0，導函數在x=1時小于0，得到如圖所示的三角形ABC，求出三個頂點的坐標即可得到相應的z值，得到z的取值范圍即可．

解答：解：（1）f′（x）=ax²-2bx+（2-b），
由題意得

a( 1 2 )2-2b× 1 2 +(2-b)=0 a( 3 2 )2-2b× 3 2 +(2-b)=0

，即

1 4 a-2b+2=0 9 4 a-4b+2=0

，
解得

a= 8 7 b= 8 7

．
（2）在題設下，0＜x₁＜1＜x₂＜2等價于

f′(0)＞0 f′(1)＜0 f′(2)＞0

，
即

2-b＞0 a-2b+2-b＜0 4a-4b+2-b＞0

，化簡得

2-b＞0 a-3b+2＜0 4a-5b+2＞0

．
此不等式組表示的平面區域aob上三條直線：2-b=0，a-3b+2=0，4a-5b+2=0
所圍成的△ABC的內部，其三個頂點分別為：A（

4

7

，

6

7

），B（2，2），C（4，2），
z在這三點的值依次為：

16

7

，6，8，
所以z的取值范圍為（

16

7

，8）．

點評：本題考查學生會利用導數研究函數的極值，會利用數形結合法進行簡單的線性規劃．在解題時學生應注意利用數形結合的數學思想解決問題．