Question

（2012•黃浦區二模）已知函數f（x）=|x²-2ax+a|（x∈R），給出下列四個命題：
①當且僅當a=0時，f（x）是偶函數；
②函數f（x）一定存在零點；
③函數在區間（-∞，a]上單調遞減；
④當0＜a＜1時，函數f（x）的最小值為a-a²．
那么所有真命題的序號是

①④

．

Answer 1

分析：（1）當f（x）是偶函數時，函數解析式中不能含有奇數次項；
（2）二次函數的零點是函數與X軸交點的橫坐標，舉個反例即可；
（3）分段函數單調性要根據每段函數解析式來求，舉個反例即可；
（4）當0＜a＜1時，函數f（x）=|x²-2ax+a|=x²-2ax+a＞0恒成立，此時函數f（x）的最小值為a-a²．

解答：解：由于函數f（x）=|x²-2ax+a|（x∈R），
①當a=0時，f（x）=x²，則f（x）是偶函數；
當f（x）是偶函數時，函數解析式中不能含有奇數次項，則-2a=0，即a=0．
故①為真命題．
②∵△=4a²-4a=4a（a-1），當0＜a＜1時，△＜0，函數f（x）=|x²-2ax+a|=x²-2ax+a＞0恒成立，
此時函數f（x）不存在零點，∴②是假命題．
③由于函數f（x）=x²-2ax+a在區間（-∞，a]上單調遞減，
但函數f（x）=|x²-2ax+a|（x∈R）是由函數f（x）=x²-2ax+a把X軸下方圖象沿X軸旋轉180度得到的，
則函數f（x）=|x²-2ax+a|（x∈R）在區間（-∞，a]上單調遞減不一定成立．
故③是假命題．
④當0＜a＜1時，函數f（x）=|x²-2ax+a|=x²-2ax+a＞0恒成立，此時函數f（x）的最小值為a-a²．
故④是真命題．
故答案為①④．

點評：本題考查的知識點是，判斷命題真假，比較綜合的考查了二次函數和分段函數的一些性質，我們可以根據函數的性質對四個結論逐一進行判斷，可以得到正確的結論．