Question

（2010•吉安二模）已知拋物線x²=2py（p＞0）的焦點為F，過焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，分別過A、B作y軸的平行線依次交拋物線的準線于A₁，B₁兩點，Q是A₁B₁的中點，連AQ、BQ、FA₁，有下列命題：
①△AA₁F的垂心有可能在此拋物線；
②△AQB的外心有可能在此拋物線上；
③AQ、FA₁、x軸相交于一點；
④過A、B兩點的拋物線的兩條切線的交點在此拋物線的準線上
上述命題正確的有

①③④

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：①只需要說明AF⊥AA₁即可；②由于易得AQ⊥QB，故△AQB的外心是線段AB的中點；③④取特殊位置AB∥x軸，可知結論正確．

解答：解：取特殊位置AB∥x軸①則 A1(-p，-

p

2

)，F(0，

p

2

)，B1(p，-

p

2

)，故有AF⊥AA₁，所以點A是△AA₁F的垂心；
②A (-p，

p

2

)，Q(0，-

p

2

)，B(p，

p

2

)得AQ⊥QB，故△AQB的外心是線段AB的中點；
③由于此時AFQA₁是矩形，故正確；
④FQ=BB₁=AA₁=p，顯然FQ²=BB₁•AA₁
故答案為：①③④．

點評：本題取特殊位置，簡化了解題，是解決填空題的很好的策略．