Question

已知函數的最大值為2，x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意兩個元素，且|x₁-x₂|的最小值為．
（I）求a，ω的值；
（II）若f（a）=，求的值．

Answer 1

解：（I）∵函數 =asin2ωx+cos2ωx=asin（2ωx+）．
由題意可得，函數的最小正周期為=π，∴ω=1．
再由a＞0且函數的最大值為2可得 a=1，故 f（x）=2sin（2x+）．
（II）若f（a）=，則2sin（2α+）=，sin（2α+）=，
∴=sin[-（4α+）]=-cos（4α+）=-1+2=-1+2×=-．
分析：（I）利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式為f（x）=asin（2ωx+），由題意可得函數的最小正周期為=π，求出ω=1，再由函數的最大值求出a的值．
（II）由f（a）=求得sin（2α+）=，根據 =sin[-（4α+）]=-cos（4α+），再利用二倍角公式求出結果．
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，由函數y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求函數的解析式，二倍角的余弦公式的應用，屬于中檔題．