Question

已知數列{a_n}滿足，且對任意n∈N^*，都有2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1．
（1）求證：數列為等差數列；
（2）試問數列{a_n}中任意連續兩項的乘積a_k•a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的項？如果是，請指出是數列的第幾項；如果不是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，可得，（3分）
所以數列是以為首項，公差為的等差數列． （6分）
（2）由（1）可得數列的通項公式為，所以． （8分）
==． （10分）
因為，（11分）
當k∈N^*時，一定是正整數，所以是正整數． （13分）
所以a_k•a_k+1是數列{a_n}中的項，是第項． （14分）
分析：（1）直接利用已知條件，通過等差數列的定義，證明數列為等差數列；
（2）通過（1）求出數列的通項公式，然后化簡a_k•a_k+1（k∈N^*），使得為通項公式的形式，即可判斷是否是{a_n}中的項，然后求是數列的第幾項；
點評：本題是中檔題，考查等差數列的證明的方法，數列通項公式的應用，考查轉化思想、計算能力．