Question

已知數列{a_n}滿足a1=1，a2=4，an+2+2an=3an+1(n∈N*)．
（1）求證：數列{a_n+1-a_n}是等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）記數列{a_n}的前n項和S_n，求使得S_n＞21-2n成立的最小整數n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+2+2a_n-3a_n+1=0，得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），數列{a_n+1-a_n}就以a₂-a₁=3不首項，公比為2的等比數列，由此能夠求出數列{a_n}的通項公式．
（2）利用分組求和法得S_n=3（2ⁿ-1）-2n＞21-2n，由眥能求出使得S_n＞21-2n成立的最小整數．

解答：（1）證明：a1=1，a2=4，an+2+2an=3an+1(n∈N*)
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），a₂-a₁=3
∴數列{a_n+1-a_n}是以3為首項，公比為2的等比數列，
∴a_n+1-a_n=3•2^n-1（3分）
∴n≥2時，
a_n-a_n-1=3•2^n-2，
an-1-an-2=3•2n-3
…
a₃-a₂=3•2，
a₂-a₁=3，
以上n-1個式子累加得a_n-a₁=3•2^n-2+3•2^n-3+…+3•2+3=3（2^n-1-1）
∴a_n=3•2^n-1-2
當n=1時，a1=3•20-2=1也滿足
從而可得an=3•2n-1-2（6分）
（2）解：由（1）利用分組求和法得
S_n=（3•2⁰-2）+（3•2¹-2）+…（3•2^n-1-2）
=3（2⁰+2¹+…+2^n-1）-2n
=3×

1-2n

1-2

-2n
=3（2ⁿ-1）-2n（9分）
S_n=3（2ⁿ-1）-2n＞21-2n，
得3•2ⁿ＞24，即2ⁿ＞8=2³，
∴n＞3
∴使得S_n＞21-2n成立的最小整數4．（12分）

點評：本題主要考查了利用利用數列的遞推公式構造等比數列求解數列的通項公式，累加法的應用是求解通項的關鍵，分組求和及等比數列的求和公式的應用是解答（2）的關鍵