Question

【題目】如圖，在三棱錐中， ， ， ， ，直線與平面成角， 為的中點， ， .

（Ⅰ）若，求證：平面平面；

（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：由題意可得直線與平面所成角是，即.

設，則， ，由余弦定理得或.

（Ⅰ）若，則，由勾股定理可得，又，據此可得平面，平面平面.

（Ⅱ）若，則，故， ，

設是到面的距離， 是到面的距離，則，

由等體積法可得， .

設直線與平面所成角為，則 ，據此可得直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.

試題解析：

∵， ， 為的中點，

∴， ，∴平面，

∴直線與平面所成角是， .

設，則， ，由余弦定理得或.

（Ⅰ）若，則，∴在中.∴，

又， ，∴平面，∴平面平面.

（Ⅱ）若，∴，∵，∴， ，

設是到面的距離， 是到面的距離，則，

由等體積法： ，

∴，∴.

設直線與平面所成角為，則

.

∵，∴.

∴

故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.