Question

（1）設0＜α＜π，π＜β＜2π，若對任意的x∈R，都有關于x的等式cos（x+α）+sin（x+β）+

2

cosx=0恒成立，試求α，β的值；
（2）在△ABC中，三邊a，b，c所對的角依次為A，B，C，且2cos²C+

3

sin2C=3，c=1，S_△ABC=

3

2

，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）把已知的等式左邊的第一項利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，第二項利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，整理后，得出等式恒成立時滿足的條件，并表示出sinβ和cosβ，根據同角三角函數間的平方關系sin²β+cos²β=1，可求出cosα的值，根據α的范圍，利用特殊角的三角函數值求出α的度數，進而由sinα的值得到cosβ的值，再根據β的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出β的度數；
（2）把2cos²C+

3

sin2C=3的左邊第一項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后再利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，利用特殊角的三角函數值求出C的度數，進而得到sinC的值，由三角形的面積公式S=

1

2

absinC，由面積S及sinC的值，求出ab的值，利用余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，利用完全平方公式變形后，將c，cosC及ab的值代入，開方得到a+b的值，由ab的值及a+b的值聯立，再由a大于b可求出a與b的值．

解答：解：（1）cos（x+α）+sin（x+β）+

2

cosx
=cosxcosα-sinxsinα+sinxcosβ+cosxsinβ+

2

cosx
=（cosα+sinβ+

2

）cosx+（cosβ-sinα）sinx=0，
得到此等式恒成立的充要條件是：

cosα+sinβ+ 2 =0 cosβ-sinα=0

，即

sinβ=-cosα- 2 cosβ=sinα

，
∵sin²β+cos²β=1，∴（-cosα-

2

）²+（sinα）²=1，即cosα=-

2

2

，
又0＜α＜π，可得α=

3π

4

，
∴cosβ=sinα=

2

2

，
而π＜β＜2π，可得：β=

7π

4

；
（2）∵2cos²C+

3

sin2C=1+cos2C+

3

sin2C=2sin（2C+

π

6

）+1=3，
∴sin（2C+

π

6

）=1，即2C+

π

6

=

π

2

，解得C=

π

6

，
由S_△ABC=

1

2

absinC=

3

2

，可得ab=2

3

①，又c=1，
根據余弦定理得：1=c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-4

3

-6，
即（a+b）²=4

3

+7=（2+

3

）²，
解得a+b=2+

3

②，又a＞b
聯立①②解得：a=2，b=

3

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，等式恒成立時滿足的條件，同角三角函數間的基本關系，三角形的面積公式，以及余弦定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．