Question

有下列命題：
①在函數y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為π；
②函數y=log₂|3x-m|的圖象關于直線x=

1

2

對稱，則m=

3

2

；
③關于x的方程ax²-2x+1=0有且僅有一個實數根，則實數a=1；
④設0≤x≤2π，且

1-sin2x

=sinx-cosx，則x的取值范圍是

π

4

≤x≤

5π

4

其中真命題的序號是

②④

．

Answer 1

分析：①利用三角函數公式化為y=

1

2

cos2x，T=π，相鄰兩個對稱中心的距離為

π

2

，
②函數y=log₂|3x-m|=

log	3|x- m 3 | 2

，對稱軸為x=

m

3

，
③關于x的方程ax²-2x+1=0，當a=0時，方程為-2x+1=0，有且僅有一個實數根．
④利用三角函數的性質，考查察sinx≥cosx的解．

解答：解：①函數y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=(

2

2

cosx+

2

2

sinx)(

2

2

cosx-

2

2

sinx)=

1

2

(cos2x-sin2x)=

1

2

cos2x，T=π，相鄰兩個對稱中心的距離為

π

2

，故錯誤．
②函數y=log₂|3x-m|=

log	3|x- m 3 | 2

，對稱軸為x=

m

3

，由

m

3

=

1

2

，得出m=

3

2

；故正確．
③關于x的方程ax²-2x+1=0，當a=0時，方程為-2x+1=0，有且僅有一個實數根．故錯誤．
④由于

1-sin2x

=|sinx-cosx|，所以sinx≥cosx，當0≤x≤2π時，

π

4

≤x≤

5π

4

，故正確．
綜上所述，②④
故答案為：②④

點評：本題考查命題的真假．用到的知識有，三角函數公式的應用，三角函數的性質．絕對值函數的對稱性．屬于中檔題．