Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（1）求函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．
（3）探討函數F（x）=lnx﹣ + 是否存在零點？若存在，求出函數F（x）的零點，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=xlnx，

f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x= ．

① 當0＜t＜ 時，在x∈[t， ）上f′（x）＜0；在x∈（ ．t+2]上f′（x）＞0．

因此，f（x）在x= 處取得極小值，也是最小值．fmin（x）=﹣ ．

②當t≥ ，f′（x）≥0，因此f（x）在[t，t+2]上單調遞增，

∴fmin（x）=f（t）=tlnt

（2）解：由對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，

即有2xlnx≥﹣x2+ax﹣3．

即a≤2lnx+x+ 恒成立，

令h（x）=2lnx+x+ ，h′（x）= +1﹣ = = ，

當x＞1時，h′（x）＞0，h（x）是增函數，

當0＜x＜1時，h′（x）＜0，h（x）是減函數，

∴a≤h（x）min=h（1）=4．

即實數a的取值范圍是（﹣∞，4]

（3）解：令m（x）=2xlnx，

m'（x）=2（1+lnx），

當x∈（0， ）時，m'（x）＜0，m（x）遞減；

當x∈（ ，+∞）時，m'（x）＞0，m（x）遞增；

∴m（x）的最小值為m（ ）=﹣ ，

則2xlnx≥﹣ ，

∴lnx≥﹣ ，

F（x）=lnx﹣ + =0①

則F（x）=lnx﹣ + ≥﹣ ﹣ + = （ ﹣ ），

令G（x）= ﹣ ，則G'（x）= ，

當x∈（0，1）時，G'（x）＜0，G（x）遞減；

當x∈（1，+∞）時，G'（x）＞0，G（x）遞增；

∴G（x）≥G（1）=0 ②

∴F（x）=lnx﹣ + ≥﹣ ﹣ + = （ ﹣ ）≥0，

∵①②中取等號的條件不同，

∴F（x）＞0，故函數F（x）沒有零點

【解析】（1）求得f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，可得x= ．對t分類討論：當0＜m＜ 時，及當t≥ 時，分別研究其單調性、極值與最值，即可得出；（2）由題意可得，2xlnx≥﹣x2+ax﹣3．即a≤2lnx+x+ 恒成立，令h（x）=2lnx+x+ ，求出導數和單調區間，可得極小值且為最小值，由此求出實數a的取值范圍；（3）把函數整理成F（x）=lnx﹣ + ≥﹣ ﹣ + = （ ﹣ ），要判斷是否有零點，只需看F（x）的正負問題，令G（x）= ﹣ ，利用導數分析G（x）的單調區間和最值，即可判斷是否存在零點．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．