Question

設F₁、F₂分別為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點P，滿足PF₂=F₁F₂，且F₂到直線PF₁的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為

4x±3y=0

．

Answer 1

分析：過F₂點作F₂Q⊥PF₁于Q點，得△PF₁F₂中，PF₂=F₁F₂=2c，高F₂Q=2a，PQ=

1

2

PF₁=c+a，利用勾股定理列式，解之得a與c的比值，從而得到

b

a

的值，得到該雙曲線的漸近線方程．

解答：解：∵PF₂=F₁F₂=2c，
∴根據雙曲線的定義，得PF₁=PF₂+2a=2c+2a
過F₂點作F₂Q⊥PF₁于Q點，則F₂Q=2a，
等腰△PF₁F₂中，PQ=

1

2

PF₁=c+a，
∴PF 22=PQ²+QF 22，即（2c）²=（c+a）²+（2a）²，
解之得a=

3

5

c，可得b=

c2-a2

=

4

5

c
∴

b

a

=

4

3

，得該雙曲線的漸近線方程為y=±

4

3

x，即4x±3y=0
故答案為：4x±3y=0

點評：本題給出雙曲線的焦點三角形是以焦距為一腰的等腰三角形，底邊上的高等于實軸，求雙曲線的漸近線方程．著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．