Question

（本小題滿分15分）已知函數
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若曲線過原點的切線與函數的圖像有兩個交點，試求b的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ) ；（Ⅱ） 。

本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性及求解函數的極值，導數的幾何意義的應用，解決本題的關鍵是靈活應用方程的實根分布進行求解.
（I）先對函數求導f′（x）=3x²-3a，分a＞0，f′（x）≥0，a＞0則x=± ，討論函數的單調性，進而求解函數的極值，從而可求a
（II）由題意可求切線方程y=-9x，由 y=-9x與y=2bx²-7x-3-b，
在[-1，1]上的圖象有交點，說明函數得函數h（x）=2bx²+2x-3-b在區間[-1，1]上有零點，利用方程的實根分別問題進行求解即可
解： (Ⅰ) ，又函數有極大值
，得
在上遞增，在上遞減
，得  …………………………7分
（Ⅱ）設切點，則切線斜率
所以切線方程為
將原點坐標代入得，所以
切線方程為
由得
設
則令，得
所以在上遞增，在上遞減
所以
若有兩個解，則
得     …………………………15分