Question

【題目】在正方體的個頂點，個側面（底面）的中心及體的中心共個點中，若由兩兩不同的且不共線的個點構成的平面與由另外個不同點構成的直線垂直，則稱這個點為“正交點組”，那么，由這個點形成的正交點組的總個數為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

如圖，設為體的中心，為各側面中心.

按構成平面的那個點所在的平面（簡稱為“點平面”）進行分類討論.

觀察知點平面只有種可能：側面（如），對角面（如），由三個頂點構成的正三角形（如），中心面（如）.

（1）當側面為時，由可構成個不共線的點組（點平面，以下同），由可構成個點組，于是，由點組與點組可組合成個正交點組.另外，由點及中的某兩個點可形成個不共線的點組，任取此個點組中的任何一個，例如，與此點組垂直的點組為，，，故可形成個正交點組.注意到，共有個側面.從而，點組由側面形成的正交點組一共有個.

（2）當對角面為時，可知點組由中的個點形成的正交點組共有個.因為一共有個對角面，所以，一共形成個該種類型的正交點組.

（3）當正三角形為時，點組由形成，點組由形成，所以，共有個正交點組.

（4）當中心面為時，點組由形成，共有個正交點組.因為共有個中心面，所以，一共有個該種類型的正交點組.

綜上所述，一共有個正交點組. 選D.