Question

【題目】如圖，橢圓經過點，且點到橢圓的兩焦點的距離之和為.

（l）求橢圓的標準方程；

（2）若是橢圓上的兩個點，線段的中垂線的斜率為且直線與交于點，為坐標原點，求證：三點共線．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】分析：

(1)根據橢經過點，且點到橢圓的兩焦點的距離之和為，結合性質 ，，列出關于 、 的方程組，求出 、 ，即可得橢圓的標準方程；

(2)可設直線的方程為，聯立得，設點，根據韋達定理可得，所以點在直線上，又點也在直線上，進而得結果.

詳解：

（1）因為點到橢圓的兩焦點的距離之和為，

所以，解得.

又橢圓經過點，所以.

所以.

所以橢圓的標準方程為.

證明：（2）因為線段的中垂線的斜率為，

所以直線的斜率為-2.

所以可設直線的方程為.

據得.

設點，，.

所以， .

所以，.

因為，所以.

所以點在直線上.

又點，也在直線上，

所以三點共線.