Question

【題目】已知函數（）.

（Ⅰ）若，求函數的單調遞增區間；

（Ⅱ）若函數，對于曲線上的兩個不同的點， ，記直線的斜率為，若，證明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先確定函數定義域，再求導函數，進而求定義區間上導函數的零點2，最后列表分析導函數符號：當時，，確定單調增區間為.（2）極點偏移問題，關鍵構造函數：先轉化所證不等式為，因為 ，所以轉化研究函數 單調性，易得在上單調遞增，即得結論.

試題解析：（Ⅰ）依題意， .

令，即，解得，

故函數的單調遞增區間為.

（Ⅱ）依題意， ，

.

由題設得 .

又 ，

所以

.不妨設， ，則，則

.

令 ，則，所以在上單調遞增，所以，故.又因為，因此，即.

又由知在上單調遞減，

所以，即.