Question

如圖,設有雙曲線,F₁,F₂是其兩個焦點,點M在雙曲線上．
(1)若∠F₁MF₂=90°,求△F₁MF₂的面積;
(2)若∠F₁MF₂=60°,△F₁MF₂的面積是多少?若∠F₁MF₂=120°,△F₁MF₂的面積又是多少?
(3)觀察以上計算結果,你能看出隨∠F₁MF₂的變化,△F₁MF₂的面積將怎樣變化嗎?試證明你的結論．

Answer 1

(1) ;  (2) , ; (3) θ增大時面積變小，證明過程見解析．

試題分析：(1) 設,, 直角三角形△F₁MF₂中，利用雙曲線定義得,平方得，求得面積；(2) △F₁MF₂ 中由余弦定理可得，|MF₁|·|MF₂|，由面積公式可得面積；(3) 由雙曲線定義與余弦定理，可得面積與θ的關系，所以θ增大時面積變小．
解：(1)由雙曲線方程知a=2,b=3,,
設, ()．
由雙曲線定義,有,兩邊平方得,
,
即,
也即,求得．             4分
(2)若∠F₁MF₂=60°,在△MF₁F₂中,
由余弦定理得,
,所以．
求得．
同理可求得若∠F₁MF₂=120°, ．         8分
(3)由以上結果猜想,隨著∠F₁MF₂的增大,△F₁MF₂的面積將減小．
證明如下:
令∠F₁MF₂=θ,則．
由雙曲線定義及余弦定理,有

②-①得,
所以,
因為0<θ<π,,
在內,是增函數，
因此當θ增大時,  將減小．                 12分