Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，觀察如圖的程序框圖，若k=5，k=10時，分別有S=

5

11

和S=

10

21

（1）試求數列{a_n}的通項；
（2）令b_n=n•2^a（n∈N⁺），求數列{b_n}的前n項和T_n的值．

Answer 1

分析：（1）數列{a_n}的各項均為正數，觀察如圖的程序框圖，主要循環條件i＞k，求和M=

1

akak+1

，求出S，討論d與0的關系，從而求數列{a_n}的通項；
（2）由（1）可得：b_n=n•2^2n-1，數列{b_n}的前n項和T_n的值，利用錯位相減法求出T_n，從而進行求解；

解答：解：（1）由框圖可知S=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

akak+1

，
∵{a_n}是等差數列，設公差為d，
若d=0，則當k=5時，S=5×

1

a 2 1

=

5

11

可得a₁=

11

，
當k=10時，S=10×

1

a 2 1

=

10

21

可得a₁=

21

，顯然不成立，故舍去，
∴d≠0，∴

1

akak+1

=

1

d

（

1

ak

-

1

ak+1

），
所以，S=

1

d

(

1

a1

-

1

a2

+…+

1

ak

-

1

ak+1

)=

1

d

（

1

a1

-

1

ak+1

）
由題意可知，k=5時，S=

5

11

，k=10時，S=

10

21

，

1 d ( 1 a1 - 1 a6 )= 5 11 1 d ( 1 a1 - 1 a11 )= 10 21

⇒

a1=1 d=2

或

a1=-1 d=-2

，
故a_n=2n-1；
（2）由（1）可得：b_n=n•2^2n-1，
∴T_n=1•2+2•2³+3•2⁵+…+（n-1）•2^2n-3+n•2^2n-1①，
又2²•T_n=1•2³+2•2⁵+…+（n-1）2^2n-1+n•2²ⁿ⁺¹，②
①-②得，
-3Tn=2+2³+2⁵+…+2^2n-1-n•2²ⁿ⁺¹=

2(1-4n)

1-4

-n•22n+1=

2(1-4n)

-3

-n•22n+1
∴T_n=

2

9

（1-4n）+

n

3

•22n+1即T_n=

2

9

+

2(3n-1)

9

•4n；

點評：根據流程圖計算運行結果是算法這一模塊的重要題型，處理的步驟一般為：分析流程圖，從流程圖中即要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數據建立數學模型，根據第一步分析的結果，選擇恰當的數學模型解模．算法和程序框圖是新課標新增的內容，在近兩年的新課標地區高考都考查到了，是一道中檔題；