Question

已知奇函數(shù)f(x)=

-x2+2x(x＞0) 0，(x=0) x2+mx(x＜0)

（1）求實(shí)數(shù)m的值，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出y=f（x）的圖象；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，-2]上單調(diào)遞增，試確定的取值范圍．

Answer 1

分析：題干錯(cuò)誤：（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，-2]上單調(diào)遞增，應(yīng)該是：（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增
（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，可得f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x．再由f（-x）=-f（x），求得f（x）=x²+2x=x²+mx，從而求得m的值．
（2）要使f（x）在[-1，a-2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f（x）的圖象知

a-2＞-1 a-2≤1

，由此求得a的范圍．

解答：解：（1）由于奇函數(shù)f(x)=

-x2+2x(x＞0) 0，(x=0) x2+mx(x＜0)

，設(shè)x＜0，則-x＞0，
所以，f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x．
又f（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），
于是x＜0時(shí)，f（x）=x²+2x=x²+mx，所以m=2，如圖所示：

（2）要使f（x）在[-1，a-2]上單調(diào)遞增，
結(jié)合f（x）的圖象知

a-2＞-1 a-2≤1

，

解得1＜a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，3]．

點(diǎn)評：本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，作函數(shù)的圖象，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．