Question

已知平面內一動點 P到定點F(0，

1

2

)的距離等于它到定直線y=-

1

2

的距離，又已知點 O（0，0），M（0，1）．
（1）求動點 P的軌跡C的方程；
（2）當點 P（x₀，y₀）（x₀≠0）在（1）中的軌跡C上運動時，以 M P為直徑作圓，求該圓截直線y=

1

2

所得的弦長；
（3）當點 P（x₀，y₀）（x₀≠0）在（1）中的軌跡C上運動時，過點 P作x軸的垂線交x軸于點 A，過點 P作（1）中的軌跡C的切線l交x軸于點 B，問：是否總有 P B平分∠A PF？如果有，請給予證明；如果沒有，請舉出反例．

Answer 1

（1）根據題意，動點 P是以F(0，

1

2

)為焦點以y=-

1

2

為準線的拋物線，
所以p=1開口向上，
所以動點 P的軌跡C的方程為x²=2y
（2）以 M P為直徑的圓的圓心（

x0

2

，

y0+1

），|MP|=

x02+(y0-1)2

=

2y0+(y0-1)2

=

y02+1

所以圓的半徑r=

1

2

y02+1

，圓心到直線y=

1

2

的距離d=|

y0+1

2

-

1

2

|=|

1

2

y0|，
故截得的弦長l=2

r2-d2

=2

1 4 y02+ 1 4 - 1 4 y02

 =1
（3）總有 P B平分∠A PF．
證明：因為y=

x2

2

所以，y^′=x，kl|x=x0=x0．
所以切線l的方程為y=x0x-

x02

2

，
令y=0得x=

x0

2

，
所以B（

x0

2

，0）
所以B到PA的距離為d1=|x0-

x0

2

|=

|x0|

2

下面求直線PF的方程，
因為F(0，

1

2

)
所以直線PF的方程為y-

1

2

=

x02 2 - 1 2

x0

(x-0)整理得(x02-1)x-2x0y+x0=0
所以點B到直線PF的距離d2=

|(x02-1) x0 2 +x0|

(x02-1)2+(2x0)2

=

|x0|

2

=d1
所以 PB平分∠APF．