Question

已知平面內一動點P到F（1，0）的距離比點P到y軸的距離大1．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線交軌跡C于A，B兩點，交直線x=-1于M點，且

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

分析：（1）由題意知動點P到F（1，0）的距離與直線x=-1的距離相等，知動點P在以F（1，0）為焦點，以直線x=-1為準線的拋物線上，由此能求出軌跡C的方程．
（2）由題設知直線的斜線存在，設直線AB的方程為：y=k（x-1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，由此能求出λ₁+λ₂的值．

解答：解：（1）由題意知動點P到F（1，0）的距離與直線x=-1的距離相等，
由拋物線定義知，動點P在以F（1，0）為焦點，
以直線x=-1為準線的拋物線上，
方程為y²=4x．
（2）由題設知直線的斜線存在，設直線AB的方程為：y=k（x-1），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
∵x1+x2=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1，
由

MA

=λ1

AF

，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
∴x1+x2=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1，
由

MA

=λ1

AF

，得λ1=-1-

2

x2-1

，
同理λ2=-1-

2

x2-1

，
∴λ1+λ2=-2-2(

1

x1-1

+

1

x2-1

)=0．

點評：本題考查軌跡方程的求法，考查滿足條件的實數和的值的求法，解題時要認真審題，注意拋物線的性質的合理運用．