Question

中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓的離心率為

3

3

，且經過點Q（1，

2 3

3

）．若分別過橢圓的左右焦點F₁，F₂的動直線l₁、l₂相交于P點，與橢圓分別交于A、B與C、D不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率k₁、k₂、k₃、k₄滿足k₁+k₂=k₃+k₄． 
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在定點M、N，使得|PM|+|PN|為定值．若存在，求出M、N點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則由題意

1 a2 + 4 3b2 =1 c a = 3 3 a2=b2+c2

解得即可；
（2）當直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標為（-1，0）或（1，0）．當直線l₁、l₂斜率存在時，設斜率分別為m₁，m₂．可得l₁的方程為y=m₁（x+1），l₂的方程為y=m₂（x-1）．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），與橢圓方程聯立即可得出根與系數的關系，再利用斜率計算公式和已知即可得出m₁與m₂的關系，進而得出答案．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
則由題意

1 a2 + 4 3b2 =1 c a = 3 3 a2=b2+c2

解得

a2=3 b2=2，c=1

∴橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）當直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標為（-1，0）或（1，0）．
當直線l₁、l₂斜率存在時，設斜率分別為m₁，m₂．
∴l₁的方程為y=m₁（x+1），l₂的方程為y=m₂（x-1）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
聯立

y=m1(x+1) x2 3 + y2 2 =1

，得到(2+3

m

2 1

)x2+6

m

2 1

x+3

m

2 1

-6=0，
∴x1+x2=-

6 m 2 1

2+3 m 2 1

，x1x2=

3 m 2 1 -6

2+3 m 2 1

．
同理x3+x4=

6 m 2 2

2+3 m 2 2

，x3x4=

3 m 2 2 -6

2+3 m 2 2

．（*）
∵k1=

y1

x1

=

m1(x1+1)

x1

=m1+

m1

x1

，k2=m1+

m1

x2

，k3=m2-

m2

x3

，k4=m2-

m2

x4

．
又滿足k₁+k₂=k₃+k₄．
∴2m1+m1•

x1+x2

x1x2

=2m₂-m2•

x3+x4

x3x4

，
把（*）代入上式化為：2m1+m1•

-2 m 2 1

m 2 1 -2

=2m2-m2•

2 m 2 2

m 2 2 -2

．（m₁≠m₂）．
化為m₁m₂=-2．
設點P（x，y），則

y

x+1

•

y

x-1

=-2，（x≠±1）
化為

y2

2

+x2=1．
由當直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標為（-1，0）或（1，0）也滿足，
∴點P在橢圓上，則存在點M、N其坐標分別為（0，-1）、（0，1），使得|PM|+|PN|=2

2

為定值．

點評：熟練掌握橢圓的定義、標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得出根與系數的關系、斜率計算公式等是解題的關鍵．