Question

某市為了了解今年高中畢業生的體能狀況，從本市某校高中畢業班中抽取一個班進行鉛球測試，成績在8.0米(精確到0.1米)以上的為合格.把所得數據進行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分(如圖)，已知從左到右前5個小組的頻率分別為0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小組的頻數是7．

(Ⅰ)求這次鉛球測試成績合格的人數；
(Ⅱ)用此次測試結果估計全市畢業生的情況.若從今年的高中畢業生中隨機抽取兩名，記表示兩人中成績不合格的人數，求的分布列及數學期望；
(Ⅲ)經過多次測試后，甲成績在8～10米之間，乙成績在9.5～10.5米之間，現甲、乙各投擲一次，求甲比乙投擲遠的概率.

Answer 1

(Ⅰ)這次鉛球測試成績合格的人數為50；
(Ⅱ)的分布列為

X	0	1	2
P

數學期望；
(Ⅲ)甲比乙投擲遠的概率．

解析試題分析：(Ⅰ)由已知條件先求第6小組的頻率，再求此次測試總人數，而第4、5、6組成績均合格，從而可得這次鉛球測試成績合格的人數；(Ⅱ)首先寫出的可能取值：0，1，2，算出此次測試中成績不合格的概率：，∴～，利用二項分布可求出，，.從而得的分布列，進而求得的數學期望值；
(Ⅲ)設甲、乙各投擲一次的成績分別為、米，列出基本事件滿足的區域：，事件“甲比乙投擲遠的概率”滿足的區域為，畫出圖形，利用幾何概型公式來求甲比乙投擲遠的概率．
試題解析：(Ⅰ)第6小組的頻率為1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，
∴此次測試總人數為(人).                         （2分）
∴第4、5、6組成績均合格，人數為(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)（4分）
(Ⅱ)的可能取值為0，1，2，此次測試中成績不合格的概率為,∴～.（5分，，.　（7分）
所求的的分布列為

X	0	1	2
P

                                          （9分）
(Ⅲ)設甲、乙各投擲一次的成績分別為、米，則基本事件滿足的區域為，（10分）
事件“甲比乙投擲遠的概率”滿足的區域為，如圖所示：

∴由幾何概型.   （13分）．
考點：1．頻率分布直方圖；2．離散型隨機變量的分布列和數學期望；3．利用幾何概型求概率．