Question

如圖，現要在邊長為的正方形內建一個交通“環島”.正方形的四個頂點為圓心在四個角分別建半徑為（不小于）的扇形花壇，以正方形的中心為圓心建一個半徑為的圓形草地.為了保證道路暢通，島口寬不小于，繞島行駛的路寬均不小于.

（1）求的取值范圍；（運算中取）
（2）若中間草地的造價為元，四個花壇的造價為元，其余區域的造價為元，當取何值時，可使“環島”的整體造價最低？

Answer 1

(1)  ,(2) .

解析試題分析：（1）解決應用題問題首先要解決閱讀問題，具體說就是要會用數學式子正確表示數量關系，本題根據半徑、島口寬、路寬限制條件列方程組，即可得的取值范圍；其難點在路寬最小值的確定，觀察圖形易知路寬最小值應在正方形對角線連線上取得，（2）本題解題思路清晰，就是根據草地、花壇、其余區域的造價列函數關系式，再由導數求最值.難點在所列函數解析式是四次，其導數為三次，在判定區間導數符號時需細心確定，要解決這一難點，需充分利用因式分解簡化式子結構.
試題解析：（1）由題意得，            4分
解得即.         7分
（2）記“環島”的整體造價為元，則由題意得

，         10分
令，則，
由，解得或，               12分
列表如下：

	9	(9,10)	10	(10,15)	15
		－	0	＋	0
		↘	極小值	↗

所以當，取最小值.
答：當時，可使“環島”的整體造價最低.            14分
考點：利用導數求最值，解不等式.