Question

【題目】（本小題滿分為14分）已知定義域為R的函數是奇函數．

（1）求a，b的值；

（2）若對任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a＝2，b＝1.（2）

【解析】

試題分析：（1）利用奇函數性質列出兩個獨立條件解出a，b的值，注意要驗證. 因為定義域為R，所以有f（0）＝0，從而b＝1.再取f（1）＝－f（－1）得a＝2，代入函數驗證（2）利用函數奇偶性及單調性化簡不等式：因f（x）是奇函數，從而不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0等價于f（t2－2t）<－f（2t2－k）＝f（－2t2＋k）. 因為f（x）是減函數，其又等價于t2－2t>－2t2＋k.對一切t∈R恒成立，即Δ＝4＋12k<0，解得

試題解析： （1）因為f（x）是奇函數，且定義域為R，所以f（0）＝0，

即＝0，解得b＝1.

從而有.又由f（1）＝－f（－1）知，解得a＝2----6分

經檢驗適合題意，∴a＝2，b＝1.

（2）由（1）知

由上式易知f（x）在（－∞，＋∞）上為減函數.又因f（x）是奇函數，

從而不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0等價于f（t2－2t）<－f（2t2－k）＝f（－2t2＋k）.-----10分

因為f（x）是減函數，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.

即對一切t∈R有3t2－2t－k>0.

從而判別式Δ＝4＋12k<0，解得