Question

過圓x²+y²=1上一點P作圓的切線與x軸和y軸分別交于A，B兩點，O是坐標原點，則OA+8•OB的最小值是

2

65

．

Answer 1

分析：設∠OBP=α，由O＜α＜

π

2

，∠OAP=

π

2

-α，知OA+8OB=

1

cosα

+

8

sinα

≥2

1 cosα • 8 sinα

，當且僅當

1

cosα

=

8

sinα

，sinα=8cosα時，OA+8OB=

1

cosα

+

8

sinα

取最小值．此時，sinα=8cosα，由此能求出OA+8•OB的最小值．

解答：解：設∠OBP=α，
∵O＜α＜

π

2

，∠OAP=

π

2

-α，
∴OA=

1

sin( π 2 -α)

=

1

cosα

，
OB=

1

sinα

，
∴OA+8OB=

1

sin( π 2 -α)

+

8

sinα

=

1

cosα

+

8

sinα

≥2

1 cosα • 8 sinα

，
當且僅當

1

cosα

=

8

sinα

，sinα=8cosα時，OA+8OB=

1

cosα

+

8

sinα

取最小值．
此時，sinα=8cosα，
cos2α=

1

65

，cosα=

65

65

，sinα=

8 65

65

 ，
∴

1

cosα

+

8

sinα

=

65

+ 

65

=2

65

．
故OA+8•OB的最小值為2

65

．

點評：本題考查直線和圓的方程的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地運用均值不等式進行解題．