Question

已知圓O的方程為x²+y²=1，直線l₁過點A（3，0），且與圓O相切．
（1）求直線l₁的方程；
（2）設圓O與x軸相交于P，Q兩點，M是圓O上異于P，Q的任意一點，過點A且與x軸垂直的直線為l₂，直線PM交直線l₂于點P′，直線QM交直線l₂于點Q′．求證：以P′Q′為直徑的圓C總經過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中直線l₁過點A（3，0），我們可以設出直線的點斜式方程，化為一般式方程后，代入點到直線距離公式，根據直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，可以求出k值，進而得到直線l₁的方程；
（2）由已知我們易求出P，Q兩個點的坐標，設出M點的坐標，我們可以得到點P′與Q′的坐標（含參數），進而得到以P′Q′為直徑的圓的方程，根據圓的方程即可判斷結論．
解答：解：（1）由題意，可設直線l₁的方程為y=k（x-3），
即kx-y-3k=0…（2分）
又點O（0，0）到直線l₁的距離為，解得，
所以直線l₁的方程為，
即或…（5分）
（2）對于圓O的方程x²+y²=1，令x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直線l₂方程為x=3，設M（s，t），則直線PM方程為．
解方程組，得，
同理可得：．…（9分）
所以圓C的圓心C的坐標為，半徑長為，
又點M（s，t）在圓上，又s²+t²=1．故圓心C為，半徑長．
所以圓C的方程為，…（11分）
即=0
即，
又s²+t²=1
故圓C的方程為
所以圓C經過定點，y=0，則x=，
所以圓C經過定點且定點坐標為（15分）
點評：本題考查的知識是直線和圓的方程的應用，其中熟練掌握直線與圓不同位置關系時，點到直線的距離與半徑的關系，弦長公式等是解答本題的關鍵．