Question

已知橢圓C中心在原點、焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點的最大值為3，最小值為1．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N（M、N不是左、右頂點），且以MN為直徑的圓經過橢圓的右頂點A．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件可知

a+c=3 a-c=1

解得

a=2 c=1

，由此能夠推導出橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）由方程組

x 2   4 + y2 3 =1 y=kx+m

消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，然后結合題設條件利用根的判別式和根與系數的關系求解．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓的長半軸為a，半焦距為c，
則

a+c=3 a-c=1

解得

a=2 c=1

∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由方程組

x 2   4 + y2 3 =1 y=kx+m

消去y，
得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
由題意：△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0
整理得：16k²-3m²+12＞0 ①
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
則x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

由已知，AM⊥AN，且橢圓的右頂點為A（2，0）
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0
即（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0
也即(1+k2)•

4m2-12

3+4k2

+(km-2)•

-8km

3+4k2

+m2+4=0
整理得：7m²+16mk+4k²=0
解得：m=-2k或m=-

2k

7

，均滿足①
當m=-2k時，直線l的方程為y=kx-2k，過定點（2，0），舍去
當m=-

2k

7

時，直線l的方程為y=k(x-

2

7

)，過定點(

2

7

，0)，
故直線l過定點，且定點的坐標為(

2

7

，0)．

點評：本題綜合考查橢圓的性質及應用和直線與橢圓的位置關系，具有較大的難度，解題時要注意的靈活運用．