Question

已知橢圓C中心在原點，焦點在x軸上．若橢圓上的點A（1，

3

2

）到焦點F₁，F₂兩點的距離之和等于4．
（1）寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）過點P（1，

1

4

）的直線與橢圓交于兩點D、E，若|DP|=|PE|，求直線DE的方程；
（3）過點Q（1，0）的直線與橢圓交于兩點M、N，若△OMN面積取得最大值，求直線MN的方程．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的方程，利用橢圓上的點A（1，

3

2

）到焦點F₁，F₂兩點的距離之和等于4，建立方程組，即可求出橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）由題意P為線段DE的中點，且直線不與x軸垂直，利用點差法，即可求直線DE的方程；
（3）分類討論，確定△OMN面積，利用△OMN面積取得最大值，即可求直線MN的方程．

解答：解：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵橢圓上的點A（1，

3

2

）到焦點F₁，F₂兩點的距離之和等于4
∴

2a=4 1 a2 + 3 4 b2 =1

∴a=2，b=1
∴c=

a2-b2

=

3

∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1，焦點F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）；
（2）由題意P為線段DE的中點，且直線不與x軸垂直
設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），代入橢圓方程可得

x12

4

+y12=1，

x22

4

+y22=1
兩方程相減可得

2(x1-x2)

4

+

y1-y2

2

=0
∴斜率k=-1，∴直線DE的方程為4x+4y-5=0；
（3）當直線MN與x軸垂直時，方程為x=1，S_△OMN=

3

2

；
當直線MN不與x軸垂直時，設方程為y=k（x-1），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
直線代入橢圓方程，消去x可得（4k²+1）y²+2ky-3k²=0
∴y₃+y₄=-

2k

4k2+1

，y₃y₄=

-3k2

4k2+1

∴S_△OMN=

1

2

|y₃-y₄|=2

1 1+3k2 k2 + 1 1+3k2 k2 +2

設

1+3k2

k2

=t（t＞3），g（t）=t+

1

t

+2
∴g′（t）=1-

1

t2

＞0，∴g（t）＞

16

3

，∴S_△OMN＜

3

2

綜上，直線MN的方程為x=1．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．