Question

已知函數(shù)f（x）=aln（1+x）-x²，當(dāng)?p，q∈（0，1），且p-q＞0時(shí)，不等式f（p+1）-f（q+1）＞p-q恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A．(1，

  7

  8

  ]
• B．[15，+∞）
• C．[-1，-

  1

  2

  ]
• D．（15，+∞）

Answer 1

分析：由于

f(p+1)-f(q+1)

p-q

 表示點(diǎn)（p+1，f（p+1）） 與點(diǎn)（q+1，f（q+1））連線的斜率，故函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，故有 f′（x）=

a

x+1

-2x＞1 在（1，2）內(nèi)恒成立，即 a＞2x²+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立，由此求得a的取值范圍．

解答：解：∵p-q＞0時(shí)，不等式f（p+1）-f（q+1）＞p-q恒成立，即

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，
又

f(p+1)-f(q+1)

p-q

=

f(p+1)-f(q+1)

(p+1)-(q+1)

 表示點(diǎn)（p+1，f（p+1）） 與點(diǎn)（q+1，f（q+1））連線的斜率，
∵實(shí)數(shù)p，q在區(qū)間（0，1）內(nèi)，∴p+1和q+1在區(qū)間（1，2）內(nèi)．
∴函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于1，
∴函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在（1，2）內(nèi)恒成立．
由函數(shù)的定義域知，x＞-1，
∴f′（x）=

a

x+1

-2x＞1 在（1，2）內(nèi)恒成立．
即a＞2x²+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立．
由于二次函數(shù)y=2x²+3x+1在[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，
故x=2時(shí)，y=2x²+3x+1 在[1，2]上取最大值為15，∴a≥15，
故答案為[15，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查斜率公式的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值．