Question

【題目】已知函數（為常數， 為自然對數的底數），曲線在與軸的交點處的切線斜率為-1.

（1）求的值及函數的單調區間；

（2）證明：當時， ；

（3）證明：當時， .

Answer 1

【答案】（1）， 在區間上單調遞減，在上單調遞增；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求出函數的f′（x）=ex﹣a．通過f′（x）=ex﹣2＞0，即可求解函數f（x）在區間（﹣∞，ln2）上單調遞減，在（ln2，+∞）上單調遞增．

（2）求出f（x）的最小值，化簡f（x）≥1﹣ln4．構造g（x）=ex﹣x2﹣1，通過g′（x）＞0．判斷g（x）在（0，+∞）上單調遞增，得到g（x）＞g（0），推出結果．

（3）首先證明：當x＞0時，恒有．令，則h′（x）=ex﹣x2．推出h（x）在（0，+∞）上單調遞增，得到x+ln3＞3lnx．利用累加法推出．

試題解析：

（1）由，得．

又，所以．所以， ．

由，得．

所以函數在區間上單調遞減，在上單調遞增．

（2）證明：由（1）知．

所以，即， ．

令，則．

所以在上單調遞增，所以，即．

（3）首先證明：當時，恒有．

證明如下：令，則．

由（2）知，當時， ，所以，所以在上單調遞增，

所以，所以．所以，即．依次取，代入上式，則， ， ．

以上各式相加，有．

所以，

所以，

即．