Question

在周長為定值的△ABC中，已知|AB|=6，且當頂點C位于定點P時，cosC有最小值為

7

25

．
（Ⅰ）建立適當的坐標系，求頂點C的軌跡方程．
（Ⅱ）過點A作直線與（Ⅰ）中的曲線交于M、N兩點，求|

BM

|•|

BN

|的最小值的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）P點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，2c=|AB|，由余弦定理可得cosC=

|CB|2+|CA|2-62

2|CB|•|CA|

=

(|CB|+|CA|)2-2|CB||CA|-36

2|CB|•|CA|

=

2a2-18

|CB|•|CA|

-1及基本不等式|CA||CB|≤(

2a

2

)2=a2，可得cosC≥1-

18

a2

，從而可求a，及C點的軌跡方程
（Ⅱ）不妨設A點坐標為A（-3，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．（1）當直線MN的傾斜角不為90⁰時，設其方程為 y=k（x+3）代入橢圓方程化簡，顯然有△≥0，由橢圓第二定義可得|

BM

|•|

BN

|=（5-

3

5

x1）（5-

3

5

x2）=25-3（x₁+x₂） +

9

25

x1x2及方程的根與系數的關系可求|BM|•|BN|取最小值，（2）當直線MN的傾斜角為90°時，x₁=x₂=-3，得 |

BM

|•|

BN

|=(

34

5

)2＞16，結合橢圓

x2

25

+

y2

16

=1(y≠0)，故k≠0，這樣的M、N不存在．

解答：解：（Ⅰ） 以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，
設|CA|+|CB|=2a（a＞3）為定值，所以C點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，
所以焦距 2c=|AB|=6
因為cosC=

|CB|2+|CA|2-62

2|CB|•|CA|

=

(|CB|+|CA|)2-2|CB||CA|-36

2|CB|•|CA|

=

2a2-18

|CB|•|CA|

-1
又 |CA||CB|≤(

2a

2

)2=a2，
所以cosC≥1-

18

a2

，
由題意得 1-

18

a2

=

7

25

，∴a²=25
此時，|PA|=|PB|，P點坐標為 P（0，±4）．
所以C點的軌跡方程為 

x2

25

+

y2

16

=1(y≠0) 
（Ⅱ）不妨設A點坐標為A（-3，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
（1）當直線MN的傾斜角不為90⁰時，設其方程為 y=k（x+3）代入橢圓方程化簡，得 
(

1

25

+

k2

16

)x2+

3

8

k2x+(

9k2

16

-1)=0
顯然有△≥0，所以 x1+x2 =-

150k2

16+25k2

，x1x2=

225k2-400

16+25k2

而由橢圓第二定義可得|

BM

|•|

BN

|=（5-

3

5

x1）（5-

3

5

x2）=25-3（x₁+x₂） +

9

25

x1x2
=25+

450k2

16+25k2

+

81k2-144

16+25k2

=25+

531k2-144

16+25k2

=25+

531

25

•

k2- 144 531

k2+ 16 25

只要考慮 

k2- 144 531

k2+ 16 25

的最小值，即考慮1-

16 25 + 144 531

k2+ 16 25

取最小值，
∴當k=0時，|

BM

|•|

BN

|取最小值16；
（2）當直線MN的傾斜角為90°時，x₁=x₂=-3，得 |

BM

|•|

BN

|=(

34

5

)2＞16
但

x2

25

+

y2

16

=1(y≠0)，故k≠0，這樣的M、N不存在，即|

BM

|•|

BN

|的最小值的集合為空集

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質及余弦定理求解橢圓的方程，利用函數的性質求解函數的最值問題，綜合性強．