Question

如圖，已知：橢圓M的中心為O，長軸的兩個端點為A、B，右焦點為F，AF=5BF．若橢圓M經過點C，C在AB上的射影為F，且△ABC的面積為5．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）已知圓O：=1，直線=1，試證明：當點P(m，n)在橢圓M上運動時，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O截得的弦長的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意設橢圓方程為，半焦距為c，
由AF=5BF，且AF=a+c,BF=a-c，
∴a+c=5（a-c），得2a=3c.①
由題意CF⊥AB，設 點C坐標（c，y），C在M上，
代入得
∴．
由△ABC的面積為5，得，=5②
由①②得a=3， c=2.
∴=9-4=5．
∴所求橢圓M的方程為：．
(Ⅱ) 圓O到直線=1距離d=，
由點P(m,n)在橢圓M上，則，
顯然，
∴1，>1,
∴d =<1，
而圓O的半徑為1，直線l與圓O恒相交．弦長t=2=2,
由得，
∴, t=2, ，
∴，，
∴ ，
弦長t的取值范圍是[]．