Question

如圖，已知：橢圓M的中心為O，長軸的兩個端點為A、B，右焦點為F，AF=5BF．若橢圓M經過點C，C在AB上的射影為F，且△ABC的面積為5．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）已知圓O：x²+y²=1，直線l：mx+ny=1，試證明：當點P（m，n）在橢圓M上運動時，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O截得的弦長的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意設橢圓方程為，半焦距為c，由AF=5BF，得2a=3c．（1）由題意設點C坐標（c，y），代入得橢圓的方程得出．最后由△ABC的面積為5，得出a，b的關系式解得a，b．最后寫出橢圓M的方程．
（Ⅱ）點P（m，n）在橢圓C上，則m²+n²＞，從而得圓心O到直線l的距離 ，即直線l與圓O相交；直線l被圓O截得的弦長為 ，可得弦長t的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題意設橢圓方程為，半焦距為c，
由AF=5BF，且AF=a+c，BF=a-c，∴a+c=5（a-c），得2a=3c．（1）
由題意CF⊥AB，設 點C坐標（c，y），C在M上，
代入得
∴． 由△ABC的面積為5，
得，a²-c²=5．（2）
解（1）（2）得a=3，c=2．
∴b²=a²-c²=9-4=5．
∴所求橢圓M的方程為：．
（Ⅱ） 圓O到直線l：mx+ny=1距離d=，
由點P（m，n）在橢圓M上，則，
顯然m²+n²＞，
∴m²+n²＞1，＞1，
∴d=＜1，
而圓O的半徑為1，直線l與圓O恒相交．
弦長t=2=2，
由得，
∴，t=2，
∵|m|≤a，∴0≤m²≤9，45≤4m²+45≤81，
∴，
弦長t的取值范圍是[]．
點評：本題考查了直線與橢圓，直線與圓的綜合應用問題，也考查了直線過定點的問題；解題時要認真分析，靈活運用所學的知識，細心解答．